可以从对称上理解。图片里已经构造了一个匀速滚动的圆盘，且质点P在圆周上。既然圆盘匀速滚动，说明动能守恒。接下来进一步构造：给圆周上和P点关于圆心对称的另一个点赋予同等的质量m，同时设这那一点具有初动能E。点P初始时刻没有动能，所以整个圆盘的动能就是E。圆盘从初始位置开始滚动，由于动能守恒，P点动能增加，P对面那个点的动能下降。所以P对面那个点的动能和未构造的系统中P的势能是等价的。另外根据摆线的渐屈线还是摆线可以推出，P的瞬时圆心（曲率中心）其实并不是C，而是PC延长一倍达到的那个点，角速度是ω/2，这样就跟硬算的结果对上了。

给出一种自我感觉相对直观的理解：重点在于滚轮线的产生可以看成匀速滚动轮子边缘一点运动轨迹，这一运动轨迹，可以分解成质心运动+相对质心运动。V =Vcm+w*R。注意，这是在地面参考系下看到的结果。而根据衡量用的参考系，是C点的参考系，且显然有Vc=Vcm，这样，在C点参考系下看到的P点运动，其实平动部分就被“抵消掉了”，只剩下转动部分。V=w*r注意到这里的w是以圆心为轴衡量的，把轴换到C点处，根据简单的几何关系就可以得到：联结PD,弦切角=圆心角PDC一半。再用语言翻译一下，以C为参考系，必然结果就是，你观察到的P的运动是一个匀速圆周运动，所以最速降线跟旋轮线为线性关系！再来我们用θ(t)关系来解一下首先对于任意时刻t，设当前速度为V，根据θ的定义，有法向加速度、切向加速度，根据约束条件，设起终点垂直距离H，水平距离L，总用时T，呐，这就是θ(t)满足的约束，在此基础上要让T最小然后你想说这玩意能有个直观的解释使得θ=kt+b？(验证一下，给定θ=kt+b后有k,b,T三个未知数，三个方程，给定H,L可以解出k,b,T）再换个思路：最优解是t-θ平面中的一条直线呢，两点之间距离最短呢等等，怎么个两点法？起点,终点，总共四个坐标有三个未知的，这你弄个蛋的两点之间直线最短啊，要弄肯定也不是在t-θ平面上啊。这样又可得知了！

有两条滑梯：一条的滑道是斜线；另一条的滑道是弧线。如果有甲乙两个体重相等的小孩同时从滑梯顶部O点往下滑，甲沿着斜线滑道下滑，乙沿着弧线滑道下滑，那么哪个小孩先滑到底部A点呢?一般人认为，甲滑过的路程是直线，路程最短，所以甲孩先到达A点。这样分析是错误的。因为谁能最先到达底部，不但与路程长短有关，还与滑行的速度有关。

甲沿着斜线OA下滑，是做匀加速运动，速度从0开始，缓慢而均匀地增大；乙沿弧线下滑速度也是从0开始，但刚开始就是一段陡坡，速度迅速增大，使得乙的滑行速度比甲快，虽然比甲多走了一些路，但究竟谁先到终点就难说了。科学家研究后发现，只要将弧形滑梯设计成摆线形，就可以成为滑得最快的滑梯。

这个寻找“最速降线”的问题，最初是由瑞士数学家约翰?贝努利提出的。后来经他和牛顿、莱布尼兹、雅各布、贝努利等人的努力，发现侧着倒放的摆线弧下滑，比任何曲线都快。这一问题的解决，为后来发展成一门非常有用的数学新分支——变分法奠定了基础。

我们知道的最速降线其实就是摆线。只不过在最速降线的问题中，而这条摆线是上、下颠倒过来的。所谓的摆线就是当一个圆沿一条直线运动时，圆周上的一定点所形成的轨迹，则圆上一固定点所经过的轨迹被称之为摆线。这个在数学史上被称为“最速降线”的一个知名问题，其实最早是由著名的意大利科学家伽利略在1630 年提出来的。伽利略在他的研究后认为最速降线其实应该是圆弧，但也是可惜的是得出的这个答案并不是正确的。随着时间的流逝，又过了 60 多年，在1696 年 6 月，一位来自瑞士巴塞尔的约翰·伯努利 ，在《教师学报》上又重新提出这个问题，并且他向全欧洲的数学家提出了公开挑战。这是个与众不同的新观念，却又十分容易理解的问题吸引了当时全欧洲的数学家，然而最后能够给出正确解答的人也都是在数学史上赫赫有名的巨人。这也让这次挑战成为了在数学史上最为激动人心的一场公平公正公开的挑战。其实在当时的数学家来说对这种曲线并不会感到陌生，在当时帕斯卡和惠更斯都曾研究过这一重要的曲线。但是大部分人都还是没有想到这条线其实是之前人们费尽心思追寻的最速降线。

在众多优秀的数学家之中，约翰的解法应该是最漂亮的解法了。他是利用了费马原理将小球的运动类比成光线的运动。费马原理又有其他的名字叫做“最短光时”原理，说的意思就是光线在传播过程时总会选择光程非常短的那条路径。这样一来“最速降线”就是在光速随着高度下降而增加。采用这样的类比思想，约翰也就成功地算出了这条曲线其实就是前面提到的摆线。

为什么最速降线是摆线？它和费马原理以及变分法又有啥关系？