一、第二宇宙速度和第三宇宙速度的推导
(一)第二宇宙速度的推导
第二宇宙速度是物体挣脱地球引力的束缚而成为绕太阳运行的人造行星，或飞到其他行星上去的飞船所具有的最小速度，也叫脱离速度．
设物体的质量为m，由地面克服地球引力飞至无穷远处，需做多少功呢？
如图所示，地面a处离地心为R0，即Oa＝R0，Ob＝R1，Oc＝R2…O∞＝R∞
物体在a处受引力F0＝G
；b处受引力F1＝G
；…
物体由a移到b，需克服引力做功W1＝
01(ab)．由于F0到F1中力是变化的，为此采取近似方法：
01＝G
这样由于
，故F0＞
01＞F1
所以W1＝G
即W1＝GMm(
)(物体由a→b)
同理
W2＝GMm(
)(物体由b→c)
W3＝GMm(
)(物体由c→d)
…
W∞＝GMm(
)
物体由a移到无限远处时，共需做功
W＝W1＋W2＋…＝GMm(
)＝GMm/R0．式中
＝0
故物体在地面上需要具有动能
mv22＝GMm/R0
所以，第二宇宙速度v2＝
＝11.2
km/s(式中G为引力常量，M为地球的质量，R0为地球半径)
(二)第三宇宙速度的推导
物体要进一步挣脱太阳的引力束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去所必须具有的最小速度，叫第三宇宙速度，也叫逃逸速度．
根据推导第二宇宙速度的同样道理可知，物体为了挣脱太阳的引力飞出太阳系，必须具有速度v′＝
，式中M日＝2×1030
kg，R日地＝1.49×1011
m
所以v′＝42.2
km/s
物体是由地面出发的，地球围绕太阳公转的线速度v线＝29.8
km/s，如果物体顺着地球运动的轨道切向飞出的话，便可借助于地球的公转线速度，因而只需Δv＝v′－v线＝42.2-29.8＝12.4
km/s就行了．但是，物体要飞出太阳系，要克服太阳的引力，首先要挣脱地球引力的束缚才行．故物体在地面上应该具有的动能为
mv32＝
mv22＋
m(Δv)2
故v3＝
＝
km/s＝16.7
km/s

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（1）第二宇宙速度的推导：

根据动能公式,一个质量为m,速度为v的物体的动能E1为
E1=0.5mv^2
根据重力势能公式,当这个物体距行星中心距离约等于行星半径r,重力加速度为g时,它的重力势能E2为：
E2=mgr
而mg=GMm/r^2
可得出:E2=GMm/r
当E1-E2=0时,飞行器恰好克服行星引力逃逸,可得出：
0.5mv^2-GMm/r=0
v^2=2GM/r
v=√(2GM/r) ------------------->这就是著名的第二宇宙速度。
其中,G为万有引力常量,M为行星质量。把M代为地球质量,可得v=11.2km/s

（2）第三宇宙速度的推导：
　第三宇宙速度V3=16.7km/s.推导方法如下：
第三宇宙速度
以离太阳表面无穷远处为0势能参考面,则有
　　先不考虑地球引力
　　1/2mv（人造天体对太阳）^2+(-GMm/R)=0
　　m为人造天体的质量,R为平均日地距离,M为太阳质量
　　v=√（2GM/R）=42.2km/s
　　∵v地绕太阳=29.8km/s
　　∴v’=42.2-29.8=12.4km/s
　　设R'为地球半径,M'为地球质量
　　又∵发射时必须克服地球引力做功
　　∴1/2mv^2-GM'm/R'=1/2mv’^2
　　∵GM'm/R'=1/2mv(宇宙第二速度)^2
　　1/2*m*v^2-1/2*mv(宇宙第二速度）^2=1/2*mv’^2
　　v=16.7km/s
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