本文介绍2008年搞笑诺贝尔奖物理学奖。

自发结扣问题。

获奖文章发表在美国科学院院刊PNAS上： Dorian M. Raymer and Douglas E. Smith, Spontaneous knotting of an agitated string, PNAS 104(42), 16432 (2007)^[1]

相信大家都有过掏出耳机线就瞬间恼火的经历。那一坨，怎么解？

「Knot」绳结，是一个非常有意思的话题。

打结也是一门艺术。老祖宗知道结绳记事；现在常见的中国结；钓鱼的，攀沿的都知道怎么打结；甚至DNA都是打结的高手。

科学上对绳结的研究也已经有超过150年的历史，并逐渐发展成为拓扑学的分支：纽结理论「Knot theory」。一个绳索可以有很多种打结的方式，纽结理论的主要目的就是来辨别和划分所有可能的绳结的结构，并在数学上进行描述。一个绳结的复杂程度的衡量指标为最少交叉数。「强调最少交叉的原因是，如果由一个结可以通过几种基本的动作变成另一个结，它们便是相等的。比如一根弹簧看起来有很多交叉，但是如果拉直的话就是一根直线，没有实质的交叉也没有结。」

数学上对绳结结构分类采用的是多项式，比如上世纪20年代J. Alexander发展的亚历山大多项式能够区分最多为9个交叉的大多数绳结结构，以及1985年V. Jones发现的一组新的琼斯多项式能够区分更多的结构。

这里要介绍的这篇PNAS文章的研究初衷就是用纽结理论的多项式来分析实验上产生的绳结结构，并用理论模型解释绳结的形成。尤其是绳结的自发形成：你的耳机线。

他们设计了一个很简单的实验来模拟自发打结行为。把一根绳子放在一个盒子里，盒子能够以定速旋转，绳子在盒子里面翻滚。绳子的长度，材质，盒子的大小、旋转速度和总时间都是变量。

首先在特定的绳子材质，盒子的大小和转速情形下，仅改变绳子的长度。当绳子长度小于46厘米的时候，没有打结现象；当长度在46厘米到1.5米之间，绳子越长打结概率越高；然而当绳子更长的时候，打结概率却不在升高，稳定在50%左右。

其次对于同一根绳子。增加盒子的旋转总时间，打结概率显著升高。降低旋转速度而维持相同的总时间，打结概率几乎不变。而增加旋转速度则显著增加打结概率。

然后打结概率随盒子的宽度的增加而增加，盒子越小，增速越大。

最后当使用更柔软的绳子，打结概率能够极大的提升。

所有因素都考虑的情况下，采用柔软的长的绳子，长的翻转时间，打结概率可接近100%。

下面再来看对于绳结拓扑学结构的研究。

实验中盒子里形成的一些典型绳结结构如下图左所示。绳结的拓扑结构由纽结理论的多项式来确定。图中的数字标识出每一个交叉两侧的部分。绿色代表的是绳子从底部穿过，红色代表从顶部穿过「对应不同的多项式正负号」。这些信息足以计算琼斯多项式，其结果如图中中间一列所示。当把绳子两端连接起来以形成闭合曲线后，可通过KnotPlot网站画出简化的绳结结构。

令人吃惊的是，实验中形成的96%绳结结构能够被辨认出来，他们符合最基础的结构，具有3到11个交叉。

同时，大量试验的统计结果显示，随着绳子长度的增加（46厘米到1.5米），绳结类型的总数和平均每个绳结的最小交叉数均随绳长的增加而增加。但是当绳子太长以后（>1.5米），这些数值都会趋于饱和。

最后再来看下这些绳结是怎么自发形成的。

首先实验里面发现一个重要的细节，盒子里的绳子会自发的形成线圈，类似于我们把耳机线绕成圈。如下面的示意图，绕成线圈以后存在一些区域有多跟线平行排列。盒子的翻滚将导致类似「编辫子」的现象。绳子的一头会在并列的绳子里面穿来穿去。这个简单的模型假设绳子的编织行为完全是随机的，50%的概率向上或向下运动，同样50%的概率从临近绳子顶部或底部穿过。这个模型当然允许解扣行为。

虽然这个模型非常的基础，非常的naive，但是却能够解释实验中的很多现象。首先，这种编辫子模型能够形成所有可能的基础绳结。其次，这个模型能够解释为什么绳结形成需要一个最低绳长。根据已有的数学理论，形成绳结所需的最低曲度为4 ，而一个没有扣的闭合圆环为2 。 这也就是说绳子在盒子里至少要大于一圈，这样绳子端口处至少有临近的绳子。假设盒子里形成的线圈直径等于盒子的宽度 ，那么最低绳长为 。对于盒子宽度为15厘米，这个阈值约等于0.5米，非常接近上看给出的阈值0.46米。对于0.1米宽的盒子，这个阈值降为大概0.4米。而对于实验中使用的最长的绳子，绳子形成10到20个线圈，极大的增大「编辫子」的概率。 最后， 试下你能编出下面 这样的耳机线吗？

你的口袋，能！

参考

1. ^Spontaneous knotting of an agitated string https://www.pnas.org/content/104/42/16432