力学-（1）质点运动学

发布时间: 2021-06-19 16:29:54 来源: 励志妙语作者: me 栏目: 经典文章点击: 90

质点把研究对象的抽象为无体积、无形状，只具有质量的点，称为质点例：研究地球绕太阳公转时，地球本身的形状相较于地球到太阳的距离可以...

力学-（1）质点运动学

质点

把研究对象的抽象为无体积、无形状，只具有质量的点，称为质点

例：研究地球绕太阳公转时，地球本身的形状相较于地球到太阳的距离可以忽略，故我们将其抽象为一个只具有质量的点。

参考系

研究物体运动，我们总要选择另一个或几个互相保持静止的物体作为参考。选择的参考系不同，就会表现出不同的运动现象。所以，在描述何讨论物体运动时，必须指明参照物，这种被选作参考的物体或者物体系叫做参考系。

坐标系

为了定量描述质点在各个时刻相对参考系的位置，我们就要参考系上选取合适的坐标系,下面介绍几个常用的坐标系

直角坐标系

如图（1）， hat{i},hat{j},hat{k} 为相互垂直的三个单位向量，质点在任一时刻的位置可表示为

x= x(t), y =y(t), z =z(t)

消去可以得到轨迹方程 y =f(x)

图（1）

平面极坐标系

如图（2），表示点到原点的距离，成为极径， theta 表示极径与轴正方向的夹角，称为极角。

那么，质点的位置可以表示为 r = r(t), theta =theta(t)

图（2）

由几何关系可得直角坐标系和极坐标系之间的变换关系为

x=rcostheta,y=rsintheta

本征坐标系

以质点本身为坐标原点，引入两个相互垂直的单位向量 $vec{e}_t,vec{e}_n$ 分别表示质点运动切线方向和质点法线方向。本征坐标系不能用来描述质点在空间所处的位置，但适合在某些情况下表示质点的速度和加速度。

图（3）

位置矢量位移速度加速度

位置矢量

选定以固定的参考点（如坐标原点），从参考点出发向质点所在位置引一矢量 vec r ,这一矢量称为位置矢量（简称位矢）

位移 Delta vec{r} =vec{r} (t+Delta t)-vec{r} (t)

平均速度 $bar{vec{v}}=frac{Delta vec{r}}{Delta t}$

瞬时速度（简称速度） $vec{v}=lim_{Delta t to 0} frac{Delta vec{r}}{Delta t}=frac{mathrm{d} vec{r}}{mathrm{d} t}$

平均加速度 $bar{vec{a}}=frac{Delta vec{v}}{Delta t}$

瞬时加速度（简称加速度） $vec{a}=lim_{Delta t to 0} frac{Delta vec{v}}{Delta t}=frac{mathrm{d} vec{v}}{mathrm{d} t}=frac{mathrm{d}^2 vec{r}}{mathrm{d}t^2}$

相互关系的表示

直角坐标系下的表示

位置矢量 vec r= xhat i+y hat j+zhat k

速度 $vec v= frac {mathrm{d}vec r }{mathrm{d}t }=frac{mathrm{d} }{mathrm{d}t } (xhat i+y hat j+zhat k)= v_xhat i+v_y hat j+v_zhat k$

加速度 $vec a= frac {mathrm{d}vec v }{mathrm{d}t }=frac{mathrm{d} }{mathrm{d}t }（ v_xhat i+v_y hat j+v_zhat k）=a_xhat i+a_y hat j+a_zhat k$

极坐标系下的表示

为了在极坐标系下表示速度，加速度，位移之间的关系，需要再引入两个相互垂直的单位矢量。如图（4） vec e_r 表示位置矢量 vec r 的径向方向， $vec e_{theta}$ 垂直与 vec e_r ,方向指向 theta 增加方向。规定 $vec e_r,vec e_{theta}$ 的起点与质点所在位置始终重合。

那么有

$vec r =r vec e_r, vec v= frac {mathrm{d}vec r }{mathrm{d}t }= frac {mathrm{d} r }{mathrm{d}t }vec e_r+ frac {mathrm{d}vec e_r }{mathrm{d}t }r$

由图（4）我们可以得到 $frac {mathrm{d}vec e_r }{mathrm{d}t }=lim_{Delta tto0}frac{Deltavec e_r}{Delta t}=dot theta vec e_{theta}$

图（4）

于是 $vec v= frac {mathrm{d}vec r }{mathrm{d}t }= frac {mathrm{d} r }{mathrm{d}t }vec e_r+ frac {mathrm{d}vec e_r }{mathrm{d}t }r=dot r vec e_r +dot theta vec e_{theta}$

从而 $vec a= frac {mathrm{d}vec v }{mathrm{d}t }=frac{mathrm{d} }{mathrm{d}t }（dot r vec e_r +dot theta vec e_{theta} ）=ddot r vec e_r+2dot rdot theta vec e_{theta}+rddotthetavec e_{theta}+rdottheta frac {mathrm{d}vec e_{theta} }{mathrm{d}t }$

由图（5）我们得到 $frac {mathrm{d}vec e_{theta} }{mathrm{d}t }=lim_{Delta tto0}frac{Deltavec e_{theta}}{Delta t}=-dotthetavec e_r$

图（5）

综上我们得到

$vec v=dot r vec e_r +dot theta vec e_{theta} vec a =(ddot r-rdottheta^2)vec e_r+(2dot rdot theta +rddottheta)vec e_{theta}$

本征坐标系下的表示

$vec v=vvec{e_t} ,a=frac{mathrm{d} vec v}{mathrm{d} t}=dot vvec e_t+vfrac{mathrm{d} vec e_t}{mathrm{d} t}$

其中 $frac{mathrm{d} vec e_t}{mathrm{d} t} =frac{mathrm{d} theta }{mathrm{d} t}vec e_n=frac{mathrm{d} theta}{mathrm{d} s} cdot frac{mathrm{d} s}{mathrm{d} t}cdot vec e_n =frac{mathrm{d} theta}{mathrm{d} s} cdot vcdot vec e_n$

为质点在该点的速率， $frac{mathrm{d} s}{mathrm{d} t}=R$ 为该点曲率半径

$a=frac{mathrm{d} vec v}{mathrm{d} t}=dot vvec e_t+frac{v^2}{R}vec e_n$

相对运动

平动与静止参考系下

绝对运动：质点相对静系的运动。设绝对速度和绝对加速度分别为 vec v,vec a

相对运动：质点相对动系的运动。设相对速度和相对加速度分别为 $vec v_{相对},vec a_{相对}$

牵连运动：动系本身相对静系的运动。设牵连速度和牵连加速度分别为 $vec v_{牵连},vec a_{牵连}$

我们可以证明

$vec v=vec v_{相对}+vec v_{牵连} vec a=vec a_{相对}+vec a_{牵连}$

匀角速度与静止参考系下

$vec v=vec v_{相对}+vec v_{牵连} vec a=vec a_{相对}+vec a_{牵连}+vec a_{科氏}$

其中 $v_{牵连}=omegatimes r,a_{牵连}=omegatimes(omegatimes r),a_{科氏}=2omegatimes v_{相对}$

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参考系

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