广义相对论——黎曼曲率张量浅谈

发布时间: 2021-05-01 22:57:07 来源: 励志妙语作者: 星图栏目: 经典文章点击: 102

上一章我们谈过了度规张量是个什么东西，以及它在相对论中的地位想要确定度规张量就需要确定时空的几何结构。所以这一章主要讲关于时空的...

广义相对论——黎曼曲率张量浅谈

上一章我们谈过了度规张量是个什么东西，以及它在相对论中的地位

想要确定度规张量就需要确定时空的几何结构。所以这一章主要讲关于时空的几何结构的相关张量。

在宇宙中，时空是弯曲的，而其扭曲的曲率会导致同一个矢量到达同一个地点经过不同的路径而最终的方向不同。

想要描述这曲率就可以用这两个矢量的差来描述

在曲面上选取一个基矢 $(e_{alpha}rightarrow)$ ,然后沿着两个坐标轴 $（x^{mu},x^{nu}）$ 来平移这个矢量。

我们可以先沿着 $x^{mu}$ 平移，再沿着 $x^{nu}$ 平移，或者反过来。这样按顺序平移一次再按反顺序平移一次就会得到两个有共同起点的矢量。

对这两个矢量做差，得到一个新的矢量 (Rrightarrow) 这个矢量就可以用来描述曲率的大小，因为在平面上，这个矢量的模为零，曲面的曲率越大，矢量的模就越大。

因为我们是将这个矢量先沿着 $x^{mu}$ 平移，所以要先对它求其在 $x^{mu}$ 上的微分，得到 $frac{d}{dx^{mu}}(e_{alpha}rightarrow)$ .然后我们又把它沿着 $x^{nu}$ 微分，所以还要对其求在 $x^{nu}$ 的微分,所以最终的到的矢量是 $frac {d}{dx^{nu}}frac {d}{dx^{mu}}(e_{alpha}rightarrow)$

同理，另一个矢量是 $frac {d}{dx^{mu}}frac {d}{dx^{nu}}(e_{alpha}rightarrow)$

所以 $(Rrightarrow)=frac {d}{dx^{mu}}frac {d}{dx^{nu}}(e_{alpha}rightarrow)-frac {d}{dx^{nu}}frac {d}{dx^{mu}}(e_{alpha}rightarrow)$

而这里基矢的导数又可以用克里斯托弗符号来表示

$(Rrightarrow)=frac {d}{dx^{mu}}Gamma_{betanu}^{alpha}(e_{alpha}rightarrow)-frac {d}{dx^{nu}}Gamma_{betamu}^{alpha}(e_{alpha}rightarrow)$

运算化简得

$(Rrightarrow)=frac {d}{dx^{mu}}Gamma_{betanu}^{alpha}(e_{alpha}rightarrow)+Gamma_{betanu}^{alpha}frac {d}{dx^{mu}}(e_{alpha}rightarrow )-frac {d}{dx^{nu}}Gamma_{betamu}^{alpha}(e_{alpha}rightarrow)-Gamma_{betamu}^{alpha}frac {d}{dx^{nu}}(e_{alpha}rightarrow)$

再用克里斯托弗符号代换一次得 $(Rrightarrow)=frac {d}{dx^{mu}}Gamma_{betanu}^{alpha}(e_{alpha}rightarrow)+Gamma_{betanu}^{lambda}Gamma_{lambdamu}^{alpha}(e_{alpha}rightarrow )-frac {d}{dx^{nu}}Gamma_{betamu}^{alpha}(e_{alpha}rightarrow)-Gamma_{betamu}^{lambda}Gamma_{lambdanu}^{alpha}(e_{alpha}rightarrow)$

我们用一个新的符号来表示其分量

$R_{betamunu}^{alpha}=frac {d}{dx^{mu}}Gamma_{betanu}^{alpha}+Gamma_{betanu}^{lambda}Gamma_{lambdamu}^{alpha}-frac {d}{dx^{nu}}Gamma_{betamu}^{alpha}-Gamma_{betamu}^{lambda}Gamma_{lambdanu}^{alpha}$

这个符号就叫黎曼曲率张量，它包含了曲面所有可能方向上的曲率。但它在四维时空中有256个，所以很不好算

为了简化运算，我们需要新的东西来描述这些。

至于新的东西是什么咱下回再说

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